CdL Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni

OBIETTIVI:

Il corso si prefigge come obiettivo quello di rendere lo studente capace di elaborare i concetti fondamentali del corso in maniera critica, entrando nello spirito della disciplina e acquisendo una capacità di ragionamento che sia formativa per tutte le discipline di tipo scientifico ed in particolare di quelle matematiche e ingegneristiche.

CONTENUTI:

Cenni di topologia: bocce e intervalli, insiemi aperti e chiusi, punti interni, di accumulazione, isolati, frontiera, di aderenza. Insieme compatti e connessi. Topologia del reale ampliato. Concetto di limite: calcolo e principali proprietà. Infiniti e infinitesimi. Continuità e risultati principali delle funzioni continue. Serie numeriche e serie di potenze. Derivazione: significato geometrico, calcolo e risultati principali. Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili. Studio del grafico di una funzione di una variabile reale. Formula di Taylor e sviluppi in serie di Taylor. Convessità: proprietà e applicazioni.

Integrazione secondo Riemann: definizione, significato geometrico, regole di calcolo e principali risultati.

Numeri complessi: definizioni, le operazioni sui numeri complessi, forma trigonometrica dei numeri complessi, potenze nel campo complesso.

PREREQUISITI:

Insiemi numerici. Cenni di trigonometria. Soluzioni di equazioni e disequazioni di I e II grado, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e fratte. Elementi di logica e di teoria degli insiemi. Successioni. Funzioni: principali definizioni e proprietà, composizione, immagini dirette e inverse, invertibilità e monotonia. Grafici di funzioni elementari. Coefficienti binomiali, binomio di Newton e permutazioni semplici..

TESTI CONSIGLIATI:

C. Vinti Lezioni di Analisi Matematica, Volume 1 - Galeno Ed.

TESTI INTEGRATIVI:

Dispense distribuite dal docente.

MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO:

La verifica del profitto consiste in una prova scritta della durata di 3 ore e di una prova orale della durata di circa 40 minuti. La prova scritta prevede esercizi e quesiti sugli argomenti affrontati a lezione.

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Programma del corso di Analisi Matematica IIa

CdL Ingegneria Industriale - CdL Ingegneria Gestionale

CdL Ingegneria Cvile

OBIETTIVI:

Il corso si prefigge come obiettivo quello di rendere lo studente capace di elaborare i concetti acquisiti con il fine di essere in grado di utilizzarli per interpretare e descrivere alcuni problemi delle scienze applicate ed in particolare dell'ingegneria.

CONTENUTI:

Integrali impropri, successioni e serie di funzioni, funzioni di più variabili e studio del loro grafico. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: problema di Cauchy, esistenza e unicità, metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali e equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti. Integrazione multipla con calcolo di aree e volumi. Curve regolari, integrali curvilinei, formule di Green nel piano, calcolo di lunghezze, baricentri e momenti di inerzia.

Forme differenziali lineari e loro applicazioni ai campi conservativi; calcolo di un potenziale, flusso e divergenza di un campo vettoriale nel piano. Superfici regolari, area di una superficie, integrali di superficie e teorema di Stokes. Area di una superficie di rotazione e volume di un solido di rotazione.

Utilizzo del software Maple per la visualizzazione di alcuni tra gli argomenti del corso e per la risoluzione di alcuni problemi.

PREREQUISITI:

Analisi Matematica IA, Geometria.

TESTI CONSIGLIATI:

C. Vinti Lezioni di Analisi Matematica, Volume 2 - Galeno Ed.

C. Bardaro - C. Vinti Complementi ed Esercizi di Analisi Matematica 2 - Galeno Ed.

TESTI INTEGRATIVI:

Dispense distribuite dal docente.

MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO:

La verifica del profitto consiste in una prova scritta della durata di 3 ore, in una prova pratica (svolgimento di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa) e di una prova orale della durata di circa 40 minuti. La prova scritta prevede esercizi e quesiti sugli argomenti affrontati a lezione.

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Programma di Analisi Matematica II

CdL Ingegneria dei Materiali - Vecchio Ordinamento

Integrali generalizzati in IR : integrali generalizzati in intervalli limitati e non di IR, cenni su alcune funzioni speciali, integrali generalizzati e serie numeriche.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme, equicontinuità, teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (alla Riemann e generalizzato), e sotto il segno di derivata.

Serie di funzioni: covergenza puntuale, uniforme, totale. Integrazione e derivazione per serie. Serie di potenze. Serie trigonometriche e di Fourier.

Funzioni di più variabili: limiti separati, continuità separata, limiti ripetuti. Derivate parziali, differenziale totale, derivata secondo una direzione. Funzioni composte, funzioni omogenee. Formula di Taylor e sviluppo in serie di Taylor. Funzioni implicite. Massimi e minimi liberi e condizionati.

Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie: Problema di Cauchy: esistenza, unicità e prolungabilità. Sistemi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali risolte rispetto alla derivata di ordine massimo. Integrale singolare. Equazioni differenzili del primo e del secondo ordine. Equazioni differenziali lineari: a coefficineti costanti, di Eulero, a coefficienti analitici.

Integrazione in IRp: funzioni a gradinata, integrale secondo Riemann, misurabilità alla Peno-Jordan. Integrale su insiemi misurabili. Cambiamento di variabili negli integrali multipli, passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Integrali generalizzati in IRp: integrali generalizzati in insiemi misurabili, limitati e non di IRp.

Riduzione degli integrali generalizzati, passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Integrali curvilinei: curve continue, lunghezza di un arco di curva. Integrali curvilinei, integrali dipendenti da un parametro, trasformata di Laplace ed applicazioni alle equazioni differenziali. Formule di Green nel piano e sue applicazioni.

Forme differenziali lineari: il problema dell'integrazione delle forme differenzili lineari. Forme differenziali linaeri localmente integrabili.

Integrali di superficie: superficie, insieme di livello, significato geometrico del gradiente, superfici regolari. Integrali di superficie. Teorema di Stokes. Formule di Green nello spazio e loro applicazioni. Teorema di Guldino.

Funzioni di variabile complessa: il piano complesso ampliato. Derivazione, equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni analitiche in una regione. Funzioni armoniche in una regione.

Integrazione complessa: l'integrale di una funzione di variabile complessa, l'integrale di una funzione di variabile complessa su una curva generalmente regolare orientata. Le primitive di una funzione di variabile complessa. Sulla derivabilità indefinita delle applicazioni analitiche.

Testi consigliati:

C. Vinti, Lezioni di Analisi Matematica II, Galeno Editrice, Perugia

C. Vinti, Lezioni sulla teoria dell'integrazione, Galeno Editrice, Perugia

C. Bardaro - C. Vinti, Complementi ed esercizi di Analisi Matematica II, Galeno Editrice, Perugia

Matematica Applicata

CdL Ingegneria dei Materiali - Vecchio Ordinamento

Cenni di teoria dell' integrazione astratta.

Misure e sigma-algebre; funzioni misurabili; integrale di funzioni semplici e di funzioni misurabili in generale; integrale di Lebesgue e sue proprietà; confronto tra l' integrale di Lebesgue e equello di Riemann.

Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue.

Derivabilità delle funzioni monotone; a variazione limitata; funzioni assolutamente continue. Teoremi di Tonelli.

Cenni di calcolo delle variazioni e controllo ottimo.

Problemi di minimo, condizione di Eulero; esempi : problema di minimo consumo, problema della brachistocrona. Problema di Mayer e forme equivalenti; problemi isoperimetrici; esempi di problemi di controllo: stabilizzazione di un punto su una retta, un problema senza soluzioni ottimali. Condizione di Pontryagin per problemi di Mayer, e applicazioni. Teorema di esistenza di Filippov.

Testi consigliati:

C. Vinti: Lezioni sulla teoria dell' integrazione, Galeno - Editrice, Perugia.

C. Vinti: Dispense sul Calcolo delle Variazioni e Controllo Ottimo.